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《柔软的宇宙 第8章 双生子佯谬》




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科技 科普

更新时间:2017年8月09日

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    返回柔软的宇宙:相对论外传

   第8章 双生子佯谬


   爱因斯坦的相对论发表以后,普朗克一班物理学大牛们纷纷表示支持,但是更多的人表示反对,更多的人抱着当吃瓜群众的心态,先让消息飞一会儿再说吧。很多年轻人都在窃窃私语,但看见各位资深物理学家们都不说话,他们也不敢大声嚷嚷。不过,大家普遍对爱因斯坦那些奇葩的结论感到新奇,“钟慢尺短”这种事真的会发生吗?能不能用实验来解决问题呢?

      那时候,人们已经发现了电子,电子是可以用电场来加速的。但是人们发现,不同速度的电子,好像折算起来质量是不一样的。早在1878年,罗兰就用实验证实了“运动的电子会产生磁场”。J·J·汤姆逊提出,既然带电粒子要比不带电的粒子做的功更多,那么说明带电粒子拥有的质量更大,大家给这个现象起了个名字叫“电磁质量”,运动的电荷就会引起这种电磁质量。1901年,考夫曼用实验证实了“不同的速度下,电子的质量是不一样的,速度越快,质量越大”。1903年,有一位物理学家亚伯拉罕推算出了电子质量公式,按照经典的电磁理论,的确也可以推导出电磁质量公式。到了1904年,洛伦兹就利用洛伦兹收缩假设,推导出了自己的电磁质量公式。1906年,考夫曼宣布,他的测量结果跟亚伯拉罕的公式吻合得很好,而洛伦兹的那个公式是不对的。洛伦兹泄气了,他觉得自己的公式有问题,打算放弃。爱因斯坦可不这么看,他当然站在洛伦兹这一边,因为洛伦兹得到的结果跟他用相对论得到的结果是一致的。这也非常好理解,他们俩的基础公式都是洛伦兹变换,只是大家对公式的意义理解不同。洛伦兹的那个电磁质量的公式,说得全一点应该叫做“爱因斯坦-洛伦兹”公式。

      爱因斯坦知道亚伯拉罕的曲线跟实验观察的结果符合得更好,但是他铁口直断:要是实验结果更加精密,结果肯定是对自己有利。爱因斯坦心里有底,他的公式来自于更加严密的逻辑推导,亚伯拉罕的公式只不过是凑巧蒙上了。果然,一年以后,有人再一次做了电磁质量的实验,还是洛伦兹-爱因斯坦公式符合得更好。再后来类似的实验做了一次又一次,特别是大型粒子加速器的建造使得这种实验可以在接近光速的条件下来搞,实验数据都高精度地证明了爱因斯坦的相对论是正确的。我们从这里也可以看出来物理学家们都在干啥,你的理论并非只是简单地预测出来钟会变慢,或者尺子会变短,这样的结论仅仅是定性的描述,你还要能够高精度地计算出到底变了多少,是不是跟实验数据相符合。在本书中会遇到很多案例,科学家们提出的各种假说都是要到小数点后面n位去决一胜负。在当时,实验精度不够的情况下,大家当然免不了犹豫不决,到底谁对谁错,要等消息飞一会儿,先不忙下结论。

      在爱因斯坦的论文里面提到过一个问题:地上有一个钟A,有另外一个钟B,这两个钟彼此对准。假如B钟跑出去溜达了一圈再回来,谁比较慢呢?爱因斯坦当然回答:那个运动的钟变慢了。他后来没有详谈,本来他也没觉得需要详细谈,可是很多了解相对论的人都感觉不解:运动是相对的,A觉得跑出去溜达了一圈,那么应该说是B变慢,但是在B看来,应该是A反向跑出去溜达了一圈,A变慢才对啊!那到底是谁变慢了呢?这个问题就被称为“时钟佯谬”。

     后来,法国的一位物理学大牛发话了,这一位就是朗之万,他是大名鼎鼎的居里先生的学生。在1911年发表的一篇题为“空间和时间的演进”的文章中,朗之万为了描述得更加人性化一点,不采用钟表来描述时间,而是用了人的年龄。爱因斯坦总是喜欢描述:“对方路过你的时候,你瞥一眼看看对方的钟”,这哪里能看得清楚啊?朗之万觉得这事不好办,需要一个能够累计时间误差的玩意儿,于是他想到了人的年龄。后来为了表述对比更加明确,又给描述成了双胞胎比较年龄的问题,于是“时钟佯谬”就变成“双生子佯谬”了。

     
      这个“双生子佯谬”是这么描述的:A、B两个人是双胞胎,年龄几乎一样大;A蹲在地上不动,B坐着火箭出去溜达了一圈;只要火箭够快,出去溜达的时间够长,那么假以时日,当B调头返回原地的时候,他发现,自己居然比A年轻,两个人的年龄出现差异了。这是真的吗?所谓“佯谬”的含义就是看上去是错,实际上是对的。那么我们现在已经知道答案了,那就是这个问题是对的,的确会出现两个人年龄不一致的情况。朗之万的解释是:谁做了加速运动,谁就老得慢。A蹲在地下没动,那么说明他没做加速运动,是个惯性系的观察者。B则不然,他开始跟A在一起啊。然后,他开着火箭飞出去了,火箭必定有一个从速度为0,然后不断加速的过程,不然飞不出去啊。然后飞了好多年,B肚子饿了打算回家吃饭,那么他就需要把火箭掉个头,然后往回飞,靠近地球以后还要减速才能着陆,回到A的旁边。那么这一顿折腾,B根本就不是一个惯性观察者,B飞出去再飞回来这个过程里,必然是有加减速过程的。谁有速度变化的过程,谁的时间就变慢,因此看起来就年轻一些。
     
      这是朗之万的解释,后来别人也给出了其他的解释。比如说劳尔在1912年也给出过一个解释:他认为B在调头的时候,改变了参考系,这才是问题的关键。后来爱因斯坦在1918年也给出了一个解释,影响同样很大。不过,不管有多少种解释,答案是一样的:B比较年轻。

      我们还可以做个具体的描述,这样各位读者才能有个感性认识。最近在比邻星发现了太阳系外行星,假如要派一个飞船飞过去看看,应该怎么办呢?比邻星距离我们太阳系4.3光年,飞船以3g的加速度一直加速到25万千米/秒,然后关了发动机靠惯性飞行,快到比邻星的时候以3g的加速度刹车,不然就停不下来了。3g的加速度并不好受啊,要知道这就相当于宇航员每时每刻都要承担自己体重三倍的重量,还要支撑好多天。到了比邻星看一眼就回来,还是3g的加速度推进到24万千米/秒,然后关发动机,快到太阳系再减速。一来一回,地球上的人觉得飞船走了十二年,但是飞船上的人觉得才七年啊。这一来一去,飞船上的人就慢了五岁。

      假如我们去探测银河系的中心部分,就不能这么逍遥自在了。我们离银河中心大约是2.8万光年,路途极其遥远。假设火箭一直以2g的加速度在加速,一直飞到路途中间,然后开始减速,中途是不关闭发动机的,到了银河中心,马上回来。这样的话,宇航员大概感觉自己过了四十年时间,出发的时候三十岁,回家的时候已经是七十岁的古稀老人 了。但是地面上的人感受可就完全不同了,因为地面上已经过去了六万年!假如人类还没有灭绝的话,他们大概会列队欢迎八辈祖宗胜利凯旋,八辈?恐怕太少了点,六百辈都不够啊!要不说,双生子佯谬这个理论是科幻题材的宠儿之一,有关时的快慢长短的确会给人带来匪夷所思的感受,但是,这到底是怎么一回事呢?为什么加速运动会延缓年龄的增长呢?

      这个问题,其实背后还有爱因斯坦的数学老师闵可夫斯基的贡献,闵可夫斯基看到了爱因斯坦的相对论,十分惊奇,原来那个时常翘课的学生还是个潜力股!自己是万万没有想到。闵可夫斯基在苏黎世教授《分析力学应用》,爱因斯坦听过他的课。从1905年开始,闵可夫斯基把全部精力都放到了电动力学方面,大家都看得出来是受到了学生爱因斯坦的激发。他开始把爱因斯坦的相对论进行系统化的整理,并在整理的过程中使用了矩阵。毕竟人家是数学家,对于数学工具的使用有更深厚的功底。闵可夫斯基在整理的过程里发现,仿佛时间t在矩阵中的地位是和空间轴x、y、z平起平坐的。他觉得应该把时间与空间同等对待,时空是不可分离的坐标体系,应该称为“四维时空”。庞加莱也提出过类似的想法,在闵可夫斯基看来,假如你用时间(t)+地点(x,y,z)来描述一个四维时空里面的事件,那是不依赖参考系的,计算起来更加简洁明了。

      我们来举个例子说明这个问题:2001年9月11日v发生了一个重大的事件,那就是911恐怖袭击。早上8:46,美国航空11号班机撞向纽约世贸中心北座大楼;9:37,另一组劫机者控制美国航空77号班机撞入华盛顿的五角大楼美国国防部。在我们地球人看来,这两件事儿发生地相距330千米,时间相隔五十一分钟。假如正好有外星人驾驶飞船高速飞过,那么他们在高速移动的飞船之上看到的这两件事,还是相隔五十一分钟吗?相距的距离还是330千米这么长吗?按照爱因斯坦的相对论来计算,显然外星人看到的时间与空间都与我们地球人是不同的。钟慢尺短,外星人看到的距离更短,时间间隔也更短,因为我们地球人与外星人属于不同的惯性系。按照当初闵可夫斯基老师的想法,假如把四维时空里的坐标统一起来,那么这两个不同地点不同时间发生的事件就可以用四维时空中的勾股定理来计算一下四维距离。当然,时间要折算成距离才可以混进去计算。用光速作为转换因子,五十一分钟时间就可以折算成五十一分钟内光走过的距离。闵可夫斯基为什么要算这个距离呢?当然有他的用处,因为闵可夫斯基发现,不管是地球人还是外星人,他们看到的两地距离是不同的,看到的两件事的间隔时间也是不同的。但是他们用四维时空的勾股定理计算一下四维距离,居然是相等的,是不变的。这就是所谓的“不依赖参考系”,物理学家们看到不变的东西,可开心了。

      那么,我们用闵可夫斯基的办法就可以画出时空图来计算了。我们来看看双生子佯谬在图上是怎么表示的。


      二维的纸上画不出四维的时空,只能简单画个示意图。我们为了简化问题,假设B坐着火箭沿着X轴运动。这样Y轴和Z轴就不用画了,反正跟它们没关系,以后还有类似的图表也是这么处理。

      A蹲在地上不动,但是时间滚滚向前不能停止,因此他在时间轴上还是在运动的。A在图上拉出了一条垂直线,B沿着X轴向前飞行,在空间轴上有运动,同样时间轴上也有运动,因此在图上显示的是一条斜线。他们起点是一致的,从同一个地方出发,终点也是一致的,因为他们再次见面了,必定时间和空间都一致才能见到。B在中间做了一次大转弯,调头向回飞行,因此在时空图中,B的路径是一条折线。我们现在看出来了,原来A与B在四维时空中走过的路径是不同的。根据闵可夫斯基的理论,我们现在画出的时间轴叫做“坐标时”,并非是每个人自己感觉到的时间。每个人自己拿着钟测量出来的时间叫做“固有时”,固有时才是两个人自己的时间。四维时空中的线的长度,就是两个人真实的年龄,因此我们已经可以清晰地看到,两个人在时空图中走过的路径不同,因此路径长度也不一样。

      照着我们平常的思维,空间中直线最短,曲线要比直线长。按理说应该是A比B要短,那么应该是蹲在地上的A比坐火箭出去溜达的B要年纪小。但为什么答案是相反的呢?其实问题就出现在闵可夫斯基老师的这个坐标上,闵可夫斯基老师说:时间是第四个维度。但是时间是个虚数坐标,跟其他三个坐标是不一样的。所谓的虚数就是负数开平方,中学老师会告诉你负数开平方是不行的,任何负数的平方都是正数,因此没可能出现哪个数的平方会是个负值。但是到了高中阶段,高中老师会告诉你,负数是可以开平方的,开出来的结果是个“虚数”。虚数实际上是跟实数轴垂直的另外一个坐标轴,对数的概念有了个大大的扩展。闵老师描述的这个四维时空,时间轴是一个虚数,在三维空间里的勾股定理如下所示:
s 2 =x 2 +y 2 +z 2

      三维空间的长度的平方是三个坐标平方和。既然是四维时空,当然还是要加上时间轴t了。因为时间轴是虚数,因此还要乘上虚数单位i。四维时空的勾股定理如下所示:
s 2 =x 2 +y 2 +z 2 +(i×t) 2 =x 2 +y 2 +z 2 -t 2

      公式采用自然单位制。所谓“自然单位制”其实就是省略了所有的系数和常数,这样的公式只表示物理量的关系,但是不能用于定量计算。做定性的分析,自然单位制显得非常清晰明了。这里省去了光速c,时 间t本来要乘上光速c才能变成长度,放到式子里去计算。大家看到,最后在时间轴t的前面是个减号,正是这个减号搞出了一堆的奇葩结论。闵可夫斯基描述的这个时空,跟我们平常数学课上接触的欧几里得空间是不同的。我们平常接触的欧几里得时空中所有的维度都平等,闵可夫斯基时空的时间轴跟空间轴并不一样。闵可夫斯基时空又被称为“伪欧几里得时空”。在伪欧时空里面,直线反而比曲线短,因此蹲在地上不动的那个A拉出来的直线,反而比B走的曲线还要长,也可以说,比任何一条曲线都长。A与B在时空里面划出的线,就称
为“世界线”。这个世界线非常重要,是我们理解四维时空的有用工具。爱因斯坦一开始还不以为然,他觉得闵可夫斯基老师数学搞得太多了,掩盖了物理学的内容。层层包裹,故弄玄虚,最后归根到底还是洛伦兹变换。但是他很快就发现了四维时空的好处,洛伦兹变换,其实就是在闵可夫斯基时空里的坐标系旋转,物理学的问题,已经被转化成几何学问题了。后来,几何成了整个相对论体系的精髓所在。

      爱因斯坦后来对闵可夫斯基的评价非常高,闵可夫斯基对相对论做出了非常重要的贡献。遗憾的是,闵可夫斯基于1909年因为阑尾炎发作而去世,年纪不过才四十八岁。他们兄弟三人在老家柯尼斯堡都很出名,从小就是出了名的神童,他是家里最小的一个孩子。二哥就是发现胰岛素和糖尿病有关的著名医学家、被称为“胰岛素之父”的奥斯卡·闵可夫斯基;侄子鲁道夫·闵可夫斯基后来成为美国著名的天文学家。闵可夫斯基是在1907年左右拿出的四维时空的思想,也就在这一年,爱因斯坦也在寻求新的突破,闵可夫斯基可以说是恰好在关键的时间节点上推了爱因斯坦一把,这也是闵可夫斯基最后的贡献了。

      爱因斯坦在思考什么呢?尽管很多物理学大牛都支持他的相对论,但是反对的声音依然很强烈。更多的学者保持了沉默,因为他们也不知道这东西对还是不对,怕一不留神说错话惹人笑话。倒是年轻的后生们都在窃窃私语,讨论着各种各样毁三观的问题。对于一般的反对和质疑,爱因斯坦是有信心的,因为他们都没说到点子上。但是自己的相对论并非刀枪不入没有罩门,有两个关键的缺陷,大家都没意识到,爱因斯坦自己意识到了:
1.惯性系无法定义
2.引力放不进相对论的框架

      这两个可是大问题,爱因斯坦论文里面说了半天惯性系,但是大家都没注意到,惯性系的定义成了一个难题。按照过去的描述,相对于绝对时空做匀速直线运动或者是静止的观察者就是惯性观察者,可是现在爱因斯坦否定了绝对空间的概念,根本就没有绝对的空间。那你如何判断是不是匀速直线运动呢?立足点已经没有了。有人提出,我们可以按照牛顿第一定律的表述来定义参考系,现在大家还是这么说的,一个不受力的观察者就是惯性观察者。爱因斯坦对此也不满意,你如何知道不受力?为什么惯性系就比其他的参考系优越呢?

      这里就要讲讲惯性系与非惯性系的不同了。惯性系,就是符合牛顿运动定律的参考系。假如一个观察者做匀速直线运动或者是静止,比如说你是在均匀行驶的火车上,你会看到什么呢?挂着的摆锤垂直向下纹丝不动,自由落体会笔直向下掉落,反正一切看来都是符合牛顿运动定律的。可是一个非惯性的观察者又会看到什么呢?大家可能有体会,大客车急刹车的时候,所有人都会莫名其妙地感到有一股力量推着自己往前跌,人要花好大力气才能站稳。车辆如果不是匀速行驶的,那就不能算是惯性系了,牛顿运动定律是不好使的。比如有个车厢在做匀加速直线运动,那么你在车厢里挂一个摆锤,这个摆锤会自然而然地朝一边歪,并不是垂直向下,它仿佛受了一个水平的拉力。你做自由落体实验,也不是笔直下落的,而是斜着掉下去。这一切的一切,在牛顿看来都是惯性搞的鬼。

      对于非惯性运动的观察者来讲,大家实验结果并不相同。在缓慢加速的地铁上挂摆锤和飞快转弯的战斗机上挂摆锤,恐怕实验数据就完全对不上茬。所以呢,惯性系的优越性就体现出来了,惯性系里面,不管速度如何,方向如何,实验结果都一样。对于非惯性系的观察者,必须要考虑惯性的因素才行。法国的达朗贝尔就提出了:假如把惯性折算成一种力,给牛顿的方法打个补丁,那么就能方便快捷地搞定各种非惯性系。在这个基础上,达朗贝尔、拉格朗日等人搞出了一套分析力学,惯性被描述为一种虚拟的力,保证卫星不掉下来的离心力,导致热带气旋形成的科里奥利力,都是惯性导致的虚拟力。

      爱因斯坦曾经上过有关分析力学的课程,主讲老师正是闵可夫斯基。可惜爱因斯坦老是翘课,两人见面的机会不多。现在爱因斯坦也碰到非惯性系的问题,想想就头痛,假如是老派的物理学家们,估计会一辈子都在想如何给现有的系统打个补丁。他们长期以来养成的习惯就是如此,物理学就是建立在公设之上,用为数不多的几条公设作为地基,然后用数学不断地推导出各种各样的理论。这些理论就像骨架一样互相支撑,然后在骨架之上再搭建新的骨架,层层叠叠,组建成了高耸入云的铁塔。每搭建一层,就要用实验验证一下,这根骨架打歪了吗?那个铆钉可靠不可靠?实验的结果还可以告诉你下一步楼往哪边盖,如果出了个小麻烦,打个补丁就OK了,没人愿意大动干戈拆了重建。假如某些实验结果不符合就把楼拆了重新盖,恐怕是一件费力不讨好的事。偏巧爱因斯坦可不管这一套,因此很多前辈物理学家们扔不掉的顾虑,他满不在乎地就扔掉了。比如说惯性系的问题就是如此,干脆咱就不要惯性系了吧!他打算把相对性原理推广到所有的观察者,做任何运动的观察者,物理学规律都是一样的。
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